Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]

Задача 53553

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Определите вид четырёхугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырёхугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника, 4) ромба; 5) квадрата; 6) трапеции.

Подсказка

Проведите диагонали в данном четырёхугольнике и примените теорему о средней линии треугольника.

Ответ

1) параллелограмм; 2) параллелограмм; 3) ромб; 4) прямоугольник; 5) квадрат; 6) параллелограмм.

Прислать комментарий

Задача 53475

[Теорема Вариньона]

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Подсказка

Примените свойство средней линии треугольника.

Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, AD четырёхугольника ABCD. Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC, то MN = ${\frac{{1}}{{2}}}$ AC и MN $\Vert$ AC. Аналогично докажем, что KL = ${\frac{{1}}{{2}}}$ AC и KL $\Vert$ AC. Значит, MN = KL и MN $\Vert$ KL. Следовательно, четырёхугольник MNKL — параллелограмм.

Прислать комментарий

Задача 116881

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?

Решение

Рассмотрим четырёхугольник АВСD с равными и перпендикулярными диагоналями AC и BD (например, равнобокую трапецию с перпендикулярными диагоналями или дельтоид с равными диагоналями). Середины его сторон образуют параллелограмм (см. задачу 53475). Из условия следует равенство и перпендикулярность сторон этого параллелограмма KLMN, поэтому он является квадратом.

Ответ

Не обязательно.

Прислать комментарий

Задача 54123

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан четырёхугольник, сумма диагоналей которого равна 18. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Подсказка

Проведите диагональ четырёхугольника и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.

Решение

Пусть K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ACD с общей стороной AC. Поэтому

KL = MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC.

Аналогично докажем, что

KN = LM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD.

Следовательно,

KL + LM + MN + KN = (KL + MN) + (KN + LM) = AC + BD = 18.

Ответ

18.

Прислать комментарий

Задача 54124

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.

Подсказка

Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Ответ

16.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]