Каталог по темам

Задачи

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 241]

Задача 64856

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Митрофанов И.В.

На столе лежал проволочный треугольник с углами x°, y°, z°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами (x – 1)°, 181°, (y – 1)°, 181°, (z – 1)°, 181°. Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66097

Темы:	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Косухин О.Н.

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что BD = CD, ∠BDC = 120°. Вне треугольника ABC взята такая точка E, что AE = CE, ∠AEC = 60° и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что ∠AFD = 90°, где F – середина отрезка BE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78017

Темы:	[	Геометрические неравенства	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m₁, m₂, m₃, m₄, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A₁ прямой m₁ проводим прямую, параллельную прямой m₄, до пересечения с прямой m₂ в точке A₂, через A₂ проводим прямую, параллельную m₁, до пересечения с m₃ в точке A₃, через A₃ проводим прямую, параллельную m₂, до пересечения с m₄ в точке A₄ и через точку A₄ проводим прямую, параллельную m₃, до пересечения с m₁ в точке B. Доказать, что OB $\le$ ${\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).

Прислать комментарий Решение

Задача 78798

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79360

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 4
Классы: 11

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 241]