Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 239]
Точки
P1,
P2 и
P3, не лежащие на одной прямой,
расположены внутри выпуклого 2
n-угольника
A1...
A2n.
Докажите, что если сумма площадей треугольников
A1A2Pi,
A3A4Pi,...,
A2n - 1A2nPi равна одному и тому же
числу
c для
i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки
P
сумма площадей этих треугольников равна
c.
Дан треугольник
ABC и точка
P. Точка
Q такова,
что
CQ ||
AP, а точка
R такова, что
AR ||
BQ
и
CR ||
BP. Докажите, что
SABC =
SPQR.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ правильный.
Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.
Пусть
B' — точка описанной окружности остроугольного
треугольника
ABC , диаметрально противоположная вершине
B ;
I — центр вписанной окружности треугольника
ABC ;
M —
точка касания вписанной окружности со стороной
AC . На сторонах
AB и
BC выбраны соответственно точки
K и
L , причём
KB=MC и
LB=AM . Докажите, что прямые
B'I и
KL перпендикулярны.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более
2
N (
N>3
) попарно
неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.
- Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества,
что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
- для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества,
что сумма всех 2N векторов равна нулю.
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 239]