Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 241]      

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a₁,...,a_n — векторы сторон n-угольника, = (a_i,a_j). Докажите, что a₁² = a₂² +...+ a_n² + 2a_ia_jcos, где a_i = |a_i|.

Прислать комментарий

Решение

Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD², v = BD², w = CD², U = BD² + CD² - BC², V = AD² + CD² - AC², W = AD² + BD² - AB². Докажите, что uU² + vV² + wW² = UVW + 4uvw.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа (,) и  (,) различны. Докажите, что = .

Прислать комментарий

Решение

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 241]