Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]

Задача 57343

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

ABCD — выпуклый четырехугольник площади S. Угол между прямыми AB и CD равен a, угол между AD и BC равен $\beta$ . Докажите, что

AB^.CD sin $\displaystyle \alpha$ + AD^.BC sin $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2S $\displaystyle \leq$ AB^.CD + AD^.BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57344

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что a/ $\alpha$ + b/ $\beta$ + c/ $\gamma$ $\geq$ 3/2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57345

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны S и S₁, причем треугольник ABC не тупоугольный. Наибольшее из отношений a₁/a, b₁/b и c₁/c равно k. Докажите, что S₁ $\leq$ k²S.

Прислать комментарий Решение

Задача 78530

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.

Прислать комментарий Решение

Задача 79312

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 11

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Пусть M'K'H' — треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника ABC?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]