Каталог по темам

Задачи

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 208]

Задача 58145

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58117

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существует такое число N, что среди любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 58118

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n) $\ge$ n - 3; б) P(n) $\le$ 2n - 7; в) P(n) $\le$ 2n - 10 при n $\ge$ 13.

Прислать комментарий Решение

Задача 58128

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A₁...A_n с данными величинами углов A_i и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 58138

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S₁₂ $\ge$ $\sqrt{S_1S_2}$ , т.е. $\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$ $\ge$ $\lambda_{1}^{}$ $\sqrt{S_1}$ + $\lambda_{2}^{}$ $\sqrt{S_2}$ (Брунн).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 208]