Каталог по темам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 208]

Задача 58137

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S₁ и S₂ — площади многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что площадь S( $\lambda_{1}^{}$ , $\lambda_{2}^{}$ ) многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S₁ + 2 $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ S₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ S₂,

где S₁₂ зависит только от M₁ и M₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58141

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Прислать комментарий Решение

Задача 58157

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом n-угольнике?

Прислать комментарий Решение

Задача 58158

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

Прислать комментарий Решение

Задача 109604

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 208]