Страница:
<< 34 35 36 37
38 39 40 >> [Всего задач: 199]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
За круглым столом заседают N рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин
сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней:
тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?
(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в
точке О, прямой l, проходящей через
точку О, и всевозможных касательных к окружностям,
параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток,
пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по
нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:
-
Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить
один камень в клетку n+1 ;
-
Снять два камня с клетки n и положить по одному
камню в клетки n+1 , n-2 .
Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации,
когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация
не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной
раскладки камней по клеткам).
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
|
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба
поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Страница:
<< 34 35 36 37
38 39 40 >> [Всего задач: 199]
Фильтр
