Каталог по темам

Задачи

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 1240]

Задача 116236

Темы:	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Пирамида (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Клячко А. А.

По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79370

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Конягин С.В.

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и a_n ≤ n¹⁰ при любом n?

б) Тот же вопрос, если a_n ≤ n при любом n.

Прислать комментарий Решение

Задача 105064

Темы:	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Авторы: Френкин Б.Р., Дерягин Д.В.

Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109517

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Ляшко О.

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F . При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Прислать комментарий Решение

Задача 61339

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 1240]