Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]

Задача 61310

Темы:	[	Итерации	]
Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61328

Темы:	[	Итерации	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

x_{n + 1} = x_n - $\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$ ,

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к $\sqrt{k}$ , то есть $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = $\sqrt{k}$ .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105163

Темы:	[	Итерации	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Предел функции	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел a₁, a₂, ..., такая, что P(a₁) = 0, P(a₂) = a₁, P(a₃) = a₂ и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности a₁, a₂, ... различны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109857

Темы:	[	Итерации	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61296

Тема:

[

Итерации

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет ${\frac{2}{3}}$ л и ${\frac{1}{3}}$ л с точностью до 1 миллилитра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]