Каталог по темам

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 326]

Задача 109652

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

Задача 73750

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Раскраски	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Тоом А.Л.

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).

а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.

б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

Прислать комментарий Решение

Задача 88129

Темы:	[	Задачи на движение	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

У Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились прибыть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

Прислать комментарий

Решение

Задача 87961

Темы:	[	Арифметика. Устный счет и т.п.	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Чук и Гек вместе с мамой наряжали елку. Чтобы они не подрались, мама выделила каждому из братьев по одинаковому числу веточек и по одинаковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хватило для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как вы думаете, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?

Прислать комментарий Решение

Задача 35544

Темы:	[	Полуинварианты	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Шоколадка имеет размер 4×10 плиток. За один ход разрешается разломать один из уже имеющихся кусочков на два вдоль прямолинейного разлома. За какое наименьшее число ходов можно разбить всю шоколадку на кусочки размером в одну плитку?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 326]