Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Над строкой из четырёх чисел 1, 9, 8, 8 проделаем следующую операцию: между
каждыми двумя соседними числами впишем число, которое получится в результате
вычитания левого числа из правого. Над новой строкой проделаем ту же операцию и
т.д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после ста таких операций.
Решение
Посмотрим, как изменяется сумма чисел строки после одной операции. Пусть
a1,
a2,...,
an — строка, к которой применяется операция. Тогда новая строка имеет вид
a1,
a2 −
a1,
a2,
a3 −
a2,...,
an−1,
an −
an−1,
an. Сумма
чисел новой строки равна
a1 + ... +
an + (
a2 −
a1) + (
a3 −
a2) + ... + (
an −
an−1) =
s +
an −
a1, где
s — сумма чисел исходной строки. Заметим теперь, что для любой строки, полученной из строки
1, 9, 8, 8 описанной в условии задачи операцией,
an = 8,
a1 = 1. Следовательно, после каждой такой операции сумма чисел увеличивается на семь. Сумма чисел исходной строки равно 26. Следовательно, сумма чисел строки, которая получится после ста таких
операций, равна 26 + 7 · 100 = 726.
Ответ
726
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные
— в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прыгает
кузнечик, по белым — блоха, причём каждый прыжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Докажите, что кузнечик и блоха могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трёх прыжков.
Решение
Докажем сначала, что если кузнечик и блоха сидят на одной линии (вертикали или
горизонтали), то они могут оказаться рядом, сделав в общей сложности не более
двух прыжков. Действительно, на этой линии есть клетки обоих цветов, а
значит, есть соседние клетки, одна из которых покрашена в красный цвет, а
другая в белый. Следовательно, кузнечик может прыгнуть в одну из них, а
блоха — в другую. Итак, если кузнечик и блоха сидят на одной линии, то они
могут оказаться рядом, сделав в сумме не более двух прыжков.
Докажем теперь, что кузнечик и блоха могут за один прыжок оказаться на одной
линии. Для этого проведём вертикаль, на которой сидит кузнечик, и горизонталь,
на которой сидит блоха. Так как клетка их пересечения покрашена в один из
цветов, то либо кузнечик, либо блоха могут прыгнуть в эту клетку. После этого
прыжка они окажутся на одной линии.
Итак, где бы ни сидели кузнечик и блоха, они могут за один прыжок оказаться на
одной линии, а потом не более чем за два прыжка оказаться рядом, т. е. они
могут оказаться рядом не более чем за три прыжка.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Даны 1000 линейных функций: fk(x) = pkx + qk (k = 1, 2, ..., 1000). Нужно найти значение их композиции f(x) = f1(f2(f3(...f1000(x)...))) в точке x0. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа p1, p2, ..., p1000, q1, q2, ..., q1000, x0.
Решение
f(x) = p1p2 ... p1000x0 + p1p2 ... p999q1000 + p1p2 ...p998q999 + ... + p1q2 + q1.
Самое "длинное" из слагаемых – произведение 1001 числа p1p2 ...p1000x0 – вычисляется за 10 стадий, поскольку 1001 < 210: на первой стадии вычисляем 500 произведений p1p2, p3p4, ..., p999p1000, на второй – 250 произведений (p1p2)(p3p4), ..., (p997p998)(p999p1000)
и т. д. Параллельно вычислим все остальные слагаемые.
Аналогично за 10 следующих стадий можно вычислить сумму f(x) 1001 слагаемого.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Лестница имеет 100 ступенек. Коля хочет спуститься по лестнице, при этом он
двигается начиная сверху прыжками вниз и вверх по очереди. Прыжки бывают трёх
типов – на шесть ступенек (через пять на шестую), на семь и на восемь. Два раза на одну ступеньку Коля не становится. Сможет ли он спуститься?
Решение
За два прыжка Коля может спуститься, самое большое, на две ступеньки и только в том случае, если он все время прыгает вниз на 8 и вверх на 6. Но так прыгать можно только 3 + 3 раза, иначе придётся вновь ступить на пройденную ступеньку. Таким образом, за 8 прыжков Коля может спуститься, самое большое, на 7 ступенек; за 72 прыжка – на 63 ступеньки, причём он не спускался ниже 71-й ступеньки. Но тогда по принципу Дирихле он дважды попал на одну ступеньку.
Ответ
Не сможет.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Пете мама тоже дала денег на карандаши. Условия рекламной акции такие же
как в задаче 104109).
Петя постарался купить как можно больше карандашей и в результате он смог купить на 12 карандашей больше, чем просила мама. На сколько карандашей мама давала денег?
Решение
Повторяя рассуждения задачи 104109, можно убедиться, что, если мама дала Пете денег на 49 карандашей, то он смог купить 61 карандаш, то есть на 12 карандашей больше, чем просила мама. Значит, 49 – один из ответов.
Аналогично можно проверить, что если бы мама дала Пете денег на 50
карандашей, то он смог бы купить 66 карандашей, то есть на 16 карандашей больше, чем просила мама. А если бы мама дала Пете денег на 48 карандашей, то он смог бы купить 59 карандашей, то есть только на 11 карандашей больше, чем просила мама.
Ясно, что, чем больше денег даст мама Пете, тем больше он сможет выиграть из-за акции. Следовательно, мама не могла ему дать денег ни больше, ни меньше, чем на 49 карандашей, а значит, 49 – единственный ответ.
Ответ
На 49 карандашей.
Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
