Страница:
<< 21 22 23 24
25 26 27 >> [Всего задач: 275]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z².
Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q + 2.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
Доказать, что число 2 + 4 + 6 + ... + 2n не может быть a) квадратом; б) кубом целого числа.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа
так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
Игорь закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Игорь закрасил все клетки.
Страница:
<< 21 22 23 24
25 26 27 >> [Всего задач: 275]
Фильтр
