Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 279]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Даны четыре натуральных числа. Каждое из данных чисел делится на наибольший общий делитель остальных трёх. Наименьшее общее кратное каждых трёх из данных чисел делится на оставшееся четвёртое. Докажите, что произведение данных чисел – точный квадрат.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
|
а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
В ряд слева направо стоят коробки с номерами 1, 2, 3, … В них по очереди кладут числа 1, 2, …, 2025. В каждой коробке каждые два числа должны быть взаимно просты. Очередное число кладётся в самую левую из разрешённых коробок. Все числа разложили.
а) Сколько чисел попало во вторую коробку?
б) Сколько чисел попало в третью коробку?
Доказать формулы
а) [a, b](a, b) = ab.
б) [a, b, c](a, b)(b, c)(c, a) = (a, b, c)abc.
Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является
степенью никакого целого числа.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 279]
Фильтр
