Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 112]
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Числовая последовательность {xn} такова, что для каждого n > 1 выполняется условие: xn+1 = |xn| – xn–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон?
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Пусть a1, a2, ... – такая последовательность ненулевых чисел, что (am, an) = a(m, n) (m, n ≥ 1).
Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты являются целыми числами.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Задача Иосифа Флавия.
n человек выстраиваются по кругу и
нумеруются числами от 1 до
n. Затем из них исключается каждый
второй до тех пор, пока не останется только один человек.
Например, если
n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4,
6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5.
Для данного
n будем обозначать через
J(
n) номер последнего
оставшегося человека. Докажите, что
а)
J(2
n) = 2
J(
n) - 1;
б)
J(2
n + 1) = 2
J(
n) + 1;
в) если
n = (1
bm - 1bm - 2...
b1b0)
2, то
J(
n) = (
bm - 1bm - 2...
b1b01)
2.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Последовательность a0, a1, a2, ... задана условиями a0 = 0, an+1 = P(an) (n ≥ 0), где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,
P(x) > 0 при x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k (am, ak) = a(m, k).
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 112]