Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 3]

Задача 61322

[Арифметико-геометрическое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61323

[Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79272

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Итерации	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]