Версия для печати
Убрать все задачи
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной
линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.
Решение
Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит
правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал
путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.
Решение
Докажите, что 
для x > 0 и натурального n.
Решение
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
Решение
Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а
продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно.
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K,
а стороны AB — в точке L.
Докажите, что:
а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;
б) BM = CK;
в) BC = PL.
Решение
Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиуса
R.
Решение
На доске написаны числа
а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;
б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;
в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.
Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?
Решение
Найдите точку максимума функции
y = (
x+13)
e13
-x .
Решение
Фильтр
