Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 75]
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера, которая
касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту
пирамиды в отношении
1
:3
, считая от вершины пирамиды. Найдите
объём пирамиды, если апофема пирамиды равна
a .
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна
a ,
высота пирамиды равна
2
a . Найдите радиусы описанной и вписанной
сфер.
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Высота правильной треугольной пирамиды равна
a и образует с
боковой гранью угол, косинус которого равен
.
Найдите радиусы описанной и вписанной сфер.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 75]