Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA1P и CC1P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Вниз   Решение


Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN = 3AN. Докажите, что MN || BC и найдите MN, если BC = 12.

ВверхВниз   Решение


Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
  а) меньше 4/5;
  б) меньше 4/7?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На плоскости дан квадрат и точка Р. Могут ли расстояния от точки Р до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?

ВверхВниз   Решение


Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.

ВверхВниз   Решение


Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались не политыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки?

ВверхВниз   Решение


В вершинах шестиугольника ABCDEF (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в A — массой 1 г, в B — 2 г, ..., в F — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?

ВверхВниз   Решение


  Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то сумма трёх его медиан не меньше, чем учетверённый радиус описанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

Вверх   Решение

Задача 64583
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана клетчатая полоса  1×N.  Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто из игроков может всегда выиграть (как бы ни играл его соперник)?

Решение

Пусть  N > 1.  Приведём выигрышную стратегию второго игрока. Первый ход он делает в крайнюю клетку, а дальше ходит как угодно. После k-го хода первого игрока крестики делят полоску не менее чем на k частей, состоящих из пустых клеток и ноликов. Но к этому моменту выставлен лишь  k – 1  нолик, значит, в одной из частей нолика нет, и туда второй игрок может сделать ход. Так как игра когда-нибудь кончится, проиграет первый.


Ответ

При  N = 1  выигрывает первый игрок, при  N > 1  – второй.

Замечания

1. 7 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №2, зад. М2083).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .