Версия для печати
Убрать все задачи

---

Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

   Решение

---

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство  

   Решение

---

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

   Решение

---

Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.
Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?

   Решение

---

На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник, и как он должен при этом играть?

   Решение

---

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность  $n - p$  также является простым числом.

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 7+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2), где a = BC (окружность Нейберга).

Решение

Согласно задаче 12.44, а)

где S — площадь треугольника. Таким образом, для треугольника с вершинами в точках с координатами (±a/2, 0) и (x, y) угол Брокара определяется равенством

т. е. 2x² + 2y² + 3a²/2 = 2ayctg. Последнее уравнение задает окружность радиуса (a/2) с центром (0,(a/2)ctg).

Источники и прецеденты использования