Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В клетках квадратной таблицы 10×10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр произвольным образом составлено десятизначное число. Может ли оказаться так, что из двадцати получившихся чисел ровно одно не делится на 3?
Король стоит на поле a1 шахматной доски. За ход разрешается сдвинуть его на одну клетку вправо, или на одну клетку вверх, или на одну клетку вправо-вверх. Выигрывает тот, кто поставит короля на клетку h8. Кто выигрывает при правильной игре?
Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде
|
|
 |
Условие
Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых числа x³ + y и x + y³ делятся на x² + y².
Решение
Пусть d = НОД(x, y). Тогда x = du, y = dv, где u и v взаимно просты. По условию d³u³ + dv делится на d², поэтому v делится на d. Аналогично u делится на d. Значит, d = 1, то есть x и y взаимно просты. Тогда и число x² + y² взаимно просто с y.
Число x(x² + y²) – (x³ + y) = y(xy – 1) делится на x² + y². Поскольку x² + y² и y взаимно просты, то xy – 1 делится на x² + y². Но это возможно только при |xy| ≤ 1. Действительно, в противном случае 0 < |xy – 1| < 2|xy| ≤ x² + y².
Непосредственная проверка всех оставшихся вариантов (x, y = 0, ±1) дает восемь решений (±1, ±1), (0, ±1), (±1, 0).
Ответ
(1, 1), (1, 0), (1, –1), (0, 1), (0, –1), (–1, 1), (–1, 0), (–1, –1).
Замечания
5 баллов
