a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

   Решение

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

   Решение

Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Ребусы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?

Решение 1

   $\underbrace{7\ldots 7}_{n} = \dfrac{10^n-1}{9}\cdot 7 = \dfrac{7\cdot 10^n -7}{9}.$   Число 10 можно записать как  (77 - 7):7,  а 9 – как  7 + (7 + 7):7.  В качестве $n$ можно взять 77 или  14 = 7 + 7.

Замечание. В этом решении использовано 12 семёрок. Заменив $(77 - 7):7$ на $7 + (7 + 7 + 7):7$ можно обойтись без использования двузначных чисел.

Решение 2

(Будун Будунов)    $\underbrace{7\ldots 7}_{14}\cdot\left(\left(\dfrac{77-7}{7}\right)^{7+7}+\dfrac{7}{7}\right) = \underbrace{7\ldots 7}_{28}.$

Ответ

Существует.

Замечания

8 баллов.

Источники и прецеденты использования