Информация о задаче

Задача 58405

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z^* и W^*. Докажите, что середина отрезка Z^*W^* лежит на вписанной окружности.

Решение

Расположим данный правильный треугольник на комплексной плоскости так, чтобы центр его описанной окружности оказался в нуле и радиус описанной окружности был равен 1. Пусть z и w — комплексные числа, соответствующие точкам Z и W. Согласно задаче 29.32.1 z + w + $\bar{z}$ $\bar{w}$ = 0, т. е. $\bar{z}$ + $\bar{w}$ = - zw. Ясно, что z^* = - 1/ $\bar{z}$ и w^* = - 1/ $\bar{w}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (z^* + w^*) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\bar z}+\frac{1}{\bar w}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\bar z}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\bar w}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\bar z}+\frac{1}{\bar w}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\frac{\bar z+\bar w}{\bar z\bar w}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\frac{z}{\bar z}}$ $\displaystyle {\frac{w}{\bar w}}$ .

модуль этого числа равен ${\frac{1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.033