Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.
У квадратного уравнения x² + px + q = 0 коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.
Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?
Для заданных натуральных чисел
k0<k1<k2 выясните,
какое наименьшее число корней на промежутке
sin(k0x)+A1·sin(k1x) +A2·sin(k2x)=0
где A1, A2 – вещественные числа.
|
|
 |
Условие
а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)
б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.
Решение
а) Как бы Таня ни помещала гири на весы, равновесия они никогда не покажут. Поэтому каждое взвешивание делит множество подозрительных перестановок не более чем на две части. Вначале было 24 подозрительных перестановки, после первого взвешивания при «неудачном» исходе их останется не меньше 12, после второго – не меньше 6, ..., после четвёртого – не меньше 2.
б) Решение 1. Сначала положим на чаши по две гири. В результате гири разбиваются на две пары: лёгкую и тяжёлую (если весы показали равновесие, то, как мы знаем, более тяжёлая группа – на левой чаше). Есть три варианта: лёгкая пара – гири {1000, 1002}, тяжёлая – {1004, 1005}; лёгкая пара – {1000, 1004}, тяжёлая – {1002, 1005}; лёгкая пара – {1000, 1005}, тяжёлая – {1002, 1004}. Следующими двумя взвешиваниями упорядочим гири по весу в каждой паре. Четвёртым взвешиванием сравним более тяжёлые гири обеих пар, положив на левую чашу гирю из тяжёлой пары. В первом варианте перевесит левая чаша, в третьем – правая, а во втором весы покажут равновесие (на левой чаша 1005, на правой – 1004).
Решение 2. Положим гирю $A$ на левую чашу, а гирю $B$ – на правую. Если равновесия нет, более тяжёлую гирю кладём на левую чашу и вторым взвешиванием сравниваем с $C$. Если снова нет равновесия, опять более тяжёлую гирю кладём на левую чашу и третьим взвешиванием сравниваем с $D$. У нас в запасе осталось одно взвешивание.
Если равновесие хоть раз было, более тяжёлая гиря в этом взвешивании весит 1005 г, другая – 1004 г, а две оставшиеся гири определяются ещё одним взвешиванием.
Если равновесия ни разу не было, мы заведомо нашли самую тяжёлую гирю (1005 г). Разберём случаи, какая это гиря, и покажем, что в каждом из них мы уже знаем также гирю 1004 г (тогда оставшиеся две гири мы различим четвёртым взвешиванием).
1) Это $A$. Она все три взвешивания была на левой чаше, значит, один раз весы показали бы «равновесие», а этот случай разобран.
2) Это $B$. Она дважды была на левой чаше, поэтому 1004 г может весить только $A$.
3) Это $C$. Тогда 1004 г весит гиря, «проигравшая» $C$ при втором взвешивании (так как она более тяжёлая из $A$ и $B$, а $D$ не может весить 1004 г).
4) Это $D$. Тогда 1004 г весит самая тяжёлая гиря из трёх оставшихся (она определилась при втором взвешивании).
Ответ
а) не может
б) может
