На плоскости расположено n5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

   Решение

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

   Решение

Темы:    [ Треугольники (прочее) ] [ Векторы (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

Решение

  Пусть , и – построенные векторы единичной длины.

  Первый способ. Построим также вектор     Точка O лежит внутри треугольника ABC, поэтому луч OC₂ лежит внутри угла A₁OB₁. Достроим треугольник A₁OB₁ до ромба A₁OB₁D. Тогда     и     Пусть S – окружность радиуса 1 с центром D. Точка C₂ лежит на образе дуги A₁B₁ этой окружности при симметрии относительно прямой A₁B₁. Следовательно, точка C₂ лежит внутри окружности S, то есть  C₂D ≤ 1,  что и требовалось.

  Второй способ  Точка O лежит внутри треугольника ABC, поэтому треугольник A₁B₁C₁ остроугольный. Пусть H – ортоцентр треугольника A₁B₁C₁. Он лежит внутри описанной окружности треугольника A₁B₁C₁, поэтому  OH ≤ 1.  Но согласно задаче 57693   .

Источники и прецеденты использования