Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?

   Решение

Точки B₁ и B₂ лежат на луче AM, а точки C₁ и C₂ на луче AK. Окружность с центром O вписана в треугольники AB₁C₁ и AB₂C₂.
Докажите, что углы B₁OB₂ и C₁OC₂ равны.

   Решение

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD известно, что  AB = a,  BC = b  (a ≠ b).  Определите, что пересекает биссектриса угла A: основание BC или боковую сторону CD?

Подсказка

Если M – точка пересечения биссектрисы угла A с прямой BC, то треугольник ABM – равнобедренный.

Решение

  Пусть M – точка пересечения биссектрисы угла A с прямой BC. Поскольку  ∠BMA = ∠MAD = ∠BAM,  то треугольник AMB – равнобедренный,
BM = AB = a.
  Если  a > b,  то точка C лежит между точками B и M, поэтому биссектриса AM пересекает боковую сторону CD (рис. слева).
  Если же  a < b,  то точка M лежит между точками B и C, поэтому биссектриса AM пересекает основание BC (рис. справа).

Ответ

Если  a > b,  то CD; если  a < b,  то BC.

Источники и прецеденты использования