Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждый вечер Иван Таранов приходит в случайное время на автобусную остановку. На этой остановке останавливаются два маршрута - на одном из них Иван может ехать к себе домой, а на другом - в гости к другу Козявкину. Иван ждет первого автобуса и в зависимости от того, какой автобус подошел, он едет либо домой, либо к другу. Через некоторое время Иван заметил, что в гостях у Козявкина он оказывается при этом примерно в два раза чаще, чем дома. На основе этого Иван делает вывод, что один из автобусов ходит в два раза чаще другого. Прав ли он? Могут ли при выполнении условия задачи автобусы ходить с одинаковой частотой? (Предполагается, что автобусы ходят не случайным образом, а по некоторому расписанию.)

   Решение

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение

  Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Поскольку BO – биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC, а AO – биссектриса угла BAC, то  ∠AOB = 180° – ∠BAO – ∠ABO = 180° – ^α/₂ – (β + ½ (α + γ)) = γ – ^γ/₂ = ^γ/₂.  Поскольку ADB – центральный угол окружности, проходящей через точки A, B и O, а AOB – угол, вписанный в эту окружность, то  ∠ADB = 2∠AOB = γ = ∠ACB.

  Значит, отрезок AB виден из точек C и D, лежащих по одну сторону от прямой AB, под одним и тем же углом. Следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования