Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.
РешениеЧисла от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
РешениеНа стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки
M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.
РешениеВсе натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой.
Докажите, что любое семизначное число
a) встретится хотя бы на одной из полосок;
б) встретится на бесконечном числе полосок.
Решение
|
|
 |
Условие
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.Решение
Поскольку $(x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$, то сумма квадратов всех чисел на доске увеличивается в два раза с каждым ходом. Из формулы \begin{align*} (n-3)^2 + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +{}\\ +(n+3)^2 + (n+4)^2 = 8n^2 + 8n + 44 \end{align*} ясно, что сумма квадратов $8$ последовательных целых чисел даёт остаток $4$ при делении на $8$. Значит, сумма квадратов $1000$ последовательных целых чисел тоже даёт остаток $4$ при делении на $8$.
Таким образом, после первого хода сумма квадратов чисел на доске всегда будет делиться на $8$, и, следовательно, на доске никогда больше не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Замечание. Число $1000$ в условии этой задачи можно заменить на произвольное чётное число. Доказательство основано на том, что сумма квадратов $2^k$ последовательных целых чисел даёт остаток $2^{k-1}$ при делении на $2^k$.
