Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.
У квадратного уравнения x² + px + q = 0 коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.
Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?
Для заданных натуральных чисел
k0<k1<k2 выясните,
какое наименьшее число корней на промежутке
sin(k0x)+A1·sin(k1x) +A2·sin(k2x)=0
где A1, A2 – вещественные числа.
|
|
 |
Условие
Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.
Решение 1
Пусть $BD$ – диаметр описанной окружности треугольника $ABC$. Поскольку $\angle ADB = \angle C$, имеем: $$\angle CAH_a = \angle CAA_1 = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle ADB = \angle ABH_a.$$ Следовательно, сторона $AC$ касается описанной окружности треугольника $BH_aA$. Аналогично она касается описанной окружности треугольника $BH_сС$. Как известно, радикальная ось $BK$ этих двух окружностей проходит через середину $M$ отрезка $AC$ их общей касательной.
Решение 2
Пусть $B'$ – точка, симметричная точке $B$ относительно точки $M$, а описанная окружность треугольника $ACB'$ пересекает медиану $BM$ в точке $K$. Тогда внешний угол $AKB'$ треугольника $AKB$ равен $\angle ACB' = \angle A$ (см. далее рисунок слева). Но и внешний угол $BH_aA_1$ треугольника $AH_aB$ равен $\angle BAA_1 + \angle ABO = 90^\circ - \angle B + 90^\circ - \angle C = \angle A$ (см. далее рисунок справа). Поэтому $\angle AKB = \angle AH_aB$, то есть точка $K$ лежит на описанной окружности треугольника $BH_aA$. Аналогично она лежит на описанной окружности треугольника $BH_сС$.
