Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A₁, B₁, C₁ – проекции X на BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A₁, B₁, C₁ на, соответственно, B₂C₂, C₂A₂, A₂B₂, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

Подсказка

Треугольники LQC и AQB подобны с коэффициентом ½.

Решение

  Пусть O – середина BC, P и Q – точки пересечения отрезков AK и AL со стороной BC.
  Поскольку  ∠LOC = 60°  и  OL = OC,  то треугольник LOC – равносторонний. Поэтому  LC = OC = ½ BC = ½ AB,  LC || AB.
  Из подобия треугольников LQC и AQB находим, что  CQ = ^LC/_AB·BQ = ½ BQ.
  Следовательно,  CQ = ¹/₃ BC.  Аналогично  BP = ¹/₃ BC.

Источники и прецеденты использования