На плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если A, B, C — любые три из них, то внутри треугольника ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник A₁A₂...A_n будет выпуклым.

   Решение

Даны многочлен P(x) и такие числа  a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃,  что  a₁a₂a₃ ≠ 0.  Оказалось, что  P(a₁x + b₁) + P(a₂x + b₂) = P(a₃x + b₃)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.

Подсказка

Пусть A₁ и B₁ — основания биссектрис AA₁ и BB₁ треугольника ABC. Тогда прямая AB₁ является касательной к окружности с центром в точке A₁ и радиусом, равным расстоянию от точки A₁ до прямой AB.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть сторона AB треугольника ABC лежит на данной прямой l, а AA₁ и BB₁ — биссектрисы треугольника ABC. Тогда точка A₁ удалена на равные расстояния от лучей AC и AB и, следовательно, является центром окружности, вписанной в угол BAC. Аналогично для точки B₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружности с центрами в данных точках (A₁ и B₁) и радиусами, равными расстояниям от этих точек до данной прямой. Затем проводим касательные к построенным окружностям, проходящие через данные точки.

Если A₁B₁ меньше одного из расстояний от данных точек до прямой l, то задача не имеет решений. В остальных случаях задача имеет два или одно решение.

Источники и прецеденты использования