Делится ли  222⁵⁵⁵ + 555²²²  на 7?

   Решение

Пусть O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

   Решение

У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пятиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение  AK : BK  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Решение

Пусть L – вторая точка пересечения прямой l с окружностью (см. рис.). Тогда  AL = BL + CL = BK + AK  (см. задачу 52355). С другой стороны, так как KL делит AB пополам, площади треугольников AKL и BKL равны, то есть  AK·AL = BK·BL = BK².  Поэтому отношение  t = ^AK/_BK  удовлетворяет уравнению  t(1 + t) = 1,  корнем которого является отношение стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Источники и прецеденты использования