Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

Решение

  На первом ходу Вася не проиграет, так как нет двузначных квадратов с цифрой 7. Покажем, что далее каждый может приписать в конец текущего числа 2 или 3 так, чтобы соперник не выиграл следующим ходом.
  Пусть у нас было число $A$ и соперник может сделать квадрат, приписав цифру как к числу $\overline{A2}$, так и к числу $\overline{A3}$. Поскольку точные квадраты не оканчиваются ни на 2, ни на 3, он припишет цифру в конец: скажем, $x$ в первом случае и $y$ – во втором. Тогда оба числа A2x и A3y – точные квадраты, разность между которыми меньше 20. Но каждое из этих чисел хотя бы трёхзначно, и тогда разность между соседними точными квадратами не меньше  $11^2 - 10^2$ > 20.  Противоречие.

Ответ

Не может.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования