Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  a : b : a  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  a : b : a  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

   Решение

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Круглые тела (прочее) ] [ Максимальное/минимальное расстояние ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.

Решение

Пусть $P$ – ближайшая к $K$ точка многогранника. Поскольку многогранник выпуклый, точка $P$ определена однозначно и многогранник лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через $P$ и перпендикулярной $PK$. Поэтому шар с диаметром $PK$ не имеет с многогранником общих точек, отличных от $P$, а сама точка $P$ принадлежит любому шару с диаметром $KM$.

Источники и прецеденты использования