Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника.
А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

   Решение

Даны угол ABC и точка D внутри его. Постройте отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке D.

   Решение

Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной окружностью, делился точкой A пополам.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Решение

Из условия следует, что $OX$ – серединный перпендикуляр к $AB$, т.е. центр $O_1$ описанной окружности треугольника $AOB$ лежит на $OX$ и $\angle AO_1X=\angle AO_1B/2=\pi-2\angle C=\angle AYX$ (см. рис.).

При других расположениях точек рассуждение аналогично.

Источники и прецеденты использования