Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

   Решение

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

   Решение

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

   Решение

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны. Хорда EA пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает диаметр AB в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1, то AL : LB = 3 : 1.

Решение

Возьмем на отрезках AB и CD точки K и L, делящие их в указанных отношениях. Достаточно доказать, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на окружности S. Введем систему координат с началом в центре O окружности S и осями Ox и Oy, направленными по лучам OB и OD. Радиус окружности S можно считать равным 1. Прямые AK и CL задаются соответственно уравнениями  y = (x+1)/3 и y = 2x - 1. Поэтому их общая точка имеет координаты x₀ = 4/5 и y₀ = 3/5. Ясно, что  x₀² + y₀² = 1.

Источники и прецеденты использования