В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

   Решение

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что  ABP = CAP = BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники  CA₁B, CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

   Решение

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром O; M — середина отрезка ZW. Докажите, что AOZ + AOW + AOM = n (углы ориентированы).

Решение

Расположим данный треугольник так, чтобы центр описанной окружности оказался в нуле, а точка A — в единице. Пусть z и w — комплексные числа, соответствующие точкам Z и W. Повороты плоскости вокруг нуля на указанные углы соответствуют умножению на комплексные числа z/, w/ и (z + w)/( + ). Но согласно задаче 29.32.1 z + w = - , значит, произведение этих трех комплексных чисел равно 1.

Источники и прецеденты использования