Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
|
|
 |
Условие
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что (O – центр n-угольника).
б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M
внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна где O – центр тетраэдра.
Решение
а) Пусть Li – середины сторон n-угольника. где Pi – проекция точки M на прямую OLi. Как известно (см. задачи 55719,
55373 а),
где Qi – точка, симметричная M относительно прямой OLi. Заметим, что точки Qi получаются друг из друга поворотом на 4π/n вокруг точки O (например, Q2 получается из Q1 композицией двух симметрий относительно прямых OL1 и OL2, то есть поворотом на удвоенный угол между этими прямыми). Таким образом, Qi – вершины правильного многоугольника с центром O (число его сторон равно n, если n нечётно, и n/2, если n чётно; при n = 4 получается отрезок). Следовательно,
также равна 0, а
что и доказывает утверждение.
б) Пусть Li – центр грани, противоположной вершине Ai тетраэдра A1A2A3A4, Pi – проекция M на OLi. Как и в а),
Заметим, что линейно зависит от вектора
(это просто проекция). Следовательно, и
линейно зависит от
. Но при M = A1 три слагаемых обращаются в нуль, и
Аналогичное равенство выполняется для каждой вершины тетраэдра, значит, оно верно и для любой точки M (поскольку вектор есть линейная комбинация векторов
).
Замечания
1. За каждый пункт давалось по 14 баллов, за оба пункта – 20.
2. Пункт б) можно свести к а) – см. Решения задачника "Кванта" (задача М807) – но при этом доказательство станет сложнее.
