Информация о задаче

Задача 52970

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB = 1, $\angle$ ABD : $\angle$ DBC = 4 : 3.

Подсказка

Треугольник BAD — прямоугольный.

Решение

Пусть $\angle$ ABD = 4 $\alpha$ , тогда $\angle$ DBC = 3 $\alpha$ . Из прямоугольного треугольника ABD (угол A — прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр BD) находим, что

cos $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle {\frac{AB}{BD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ ABD = 4 $\displaystyle \alpha$ = 60^o, $\displaystyle \alpha$ = 15^o.

Тогда

$\displaystyle \angle$ CBD = 3 $\displaystyle \alpha$ = 45^o, $\displaystyle \angle$ ABC = 105^o.

Пусть R — радиус окружности. Поскольку 2R = BD = 2, то

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABC = 2 sin 105^o = 2 sin(60^o + 45^o) =

= 2(sin 60^ocos 45^o + cos 60^osin 45^o) = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	637