Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны выпуклый многоугольник и квадрат. Известно, что как ни расположи две копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая обеим копиям. Докажите, что как ни расположи три копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая всем трём копиям.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

F – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку M, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния a и b, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят F на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.

Решение

Отразив область CMD (см. рис.) относительно вертикальной оси симметрии, а область AMB – относительно горизонтальной, мы наложим их на большую область AMD.

При этом останется непокрытым прямоугольник KLMN, а участок EKF (в силу симметрии равный меньшей области BMC) будет покрыт дважды. Поэтому
(S_AMD + S_BMC) – (S_AMB + S_CMD) = S_KLMN = 4ab.

Ответ

4ab.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования