Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.

Вниз   Решение

Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

ВверхВниз   Решение

Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

ВверхВниз   Решение

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

ВверхВниз   Решение

На рисунке изображена фигура ABCD . Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки (причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC , чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

ВверхВниз   Решение

Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше $ \sqrt{\frac{3}{2}}$, а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.

Вверх   Решение

Задача 102507
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше $ \sqrt{\frac{3}{2}}$, а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.


Подсказка

Если вершина C и центр описанной окружности данного треугольника ABC расположены по одну сторону от прямой AB, то $ \angle$ACB = 60o, а если — по разные, то $ \angle$ACB = 120o


Решение

Пусть O центр окружности радиуса R, описанной около треугольника ABC, CH — высота треугольника, OM = $ {\frac{1}{2}}$R — перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону AB, AC = 2, BC = 3.

В прямоугольном треугольнике OMB катет OM вдвое меньше гипотенузы OB = R. Значит, $ \angle$OBM = 30o. Тогда $ \angle$AOB = 120o.

Если точки O и C расположены по одну сторону от прямой AB (рис.1), то $ \angle$ACB = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$AOB = 60o (вписанный угол равен половине соответствующего центрального).

По теореме косинусов

AB = $\displaystyle \sqrt{CA^{2}+CB^{2}-2\cdot CA\cdot CB \cos 60^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+9-6}$ = $\displaystyle \sqrt{7}$.

Поскольку

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AB . CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{7}$ . CH и S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CA . CB . sin 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2 . 3 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$,

то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{7}$ . CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2 . 3 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Отсюда находим, что CH = $ {\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$.

Поскольку

CH = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ > $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$  $\displaystyle \Leftarrow$  3$\displaystyle \sqrt{2}$ > $\displaystyle \sqrt{7}$  $\displaystyle \Leftarrow$  18 > 7,

то найденное значение высоты не удовлетворяет условию задачи.

Пусть точки O и C расположены по разные стороны от прямой AB (рис.2). Тогда

$\displaystyle \angle$ACB = 180o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$AOB = 180o - 60o = 120o,

AB = $\displaystyle \sqrt{CA^{2}+CB^{2}-2\cdot CA\cdot CB \cos 120^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+9+6}$ = $\displaystyle \sqrt{19}$.

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{19}$ . CH и S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CA . CB . sin 120o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2 . 3 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{19}$ . CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2 . 3 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Отсюда находим, что CH = $ {\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}$. Поскольку при этом

CH = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}$ < $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$  $\displaystyle \Leftarrow$  3$\displaystyle \sqrt{2}$ < $\displaystyle \sqrt{19}$  $\displaystyle \Leftarrow$  18 < 19,

то найденное значение высоты удовлетворяет условию задачи.


Ответ

3$ \sqrt{\frac{3}{19}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3930
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .