Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.

   Решение

Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E,  AB = AD,  CA – биссектриса угла C,  ∠BAD = 140°,  ∠BEA = 110°.
Найдите угол CDB.

   Решение

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  R=50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление R_y этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_x и R_y их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.

   Решение

Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

   Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

Подсказка

Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. Отсюда следует, что треугольники MNO и QPO подобны.

Решение

Заметим, что точка N лежит между B и M, а точка P — между B и Q. По теореме о касательной и секущей BN ^. BM = AB² = BP ^. BQ. Следовательно, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

(Действительно, из равенства BN ^. BM = BP ^. BQ следует равенство = . Значит, треугольники BPN и BMQ подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому BPN = BMQ. Тогда NMQ + NPQ = 180^o, а это означает, что четырёхугольник MNPQ — вписанный.)

Хорды MP и NQ пересекаются в точке O. Значит, треугольник MNO подобен треугольнику QPO по двум углам ( OMN = OQP как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), причём коэффициент подобия k равен .

Из равенств BN ^. BM = AB² и BP ^. BQ = AB² находим, что

BN = = = 4 и BQ = = .

MN = BM - BN = 9 - 4 = 5 и PQ = BQ - BP = - 5 = .

Следовательно,

= k² = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования