Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.

Вниз   Решение


Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

ВверхВниз   Решение


Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E,  AB = AD,  CA – биссектриса угла C,  ∠BAD = 140°,  ∠BEA = 110°.
Найдите угол CDB.

ВверхВниз   Решение


В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  R=50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.

ВверхВниз   Решение


Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

ВверхВниз   Решение


Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

Вверх   Решение

Задача 102522
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.


Подсказка

Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. Отсюда следует, что треугольники MNO и QPO подобны.


Решение

Заметим, что точка N лежит между B и M, а точка P — между B и Q. По теореме о касательной и секущей BN . BM = AB2 = BP . BQ. Следовательно, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

(Действительно, из равенства BN . BM = BP . BQ следует равенство $ {\frac{BN}{BP}}$ = $ {\frac{BQ}{BM}}$. Значит, треугольники BPN и BMQ подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $ \angle$BPN = $ \angle$BMQ. Тогда $ \angle$NMQ + $ \angle$NPQ = 180o, а это означает, что четырёхугольник MNPQ — вписанный.)

Хорды MP и NQ пересекаются в точке O. Значит, треугольник MNO подобен треугольнику QPO по двум углам ( $ \angle$OMN = $ \angle$OQP как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), причём коэффициент подобия k равен $ {\frac{MN}{PQ}}$.

Из равенств BN . BM = AB2 и BP . BQ = AB2 находим, что

BN = $\displaystyle {\frac{AB^{2}}{BM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{9}}$ = 4 и BQ = $\displaystyle {\frac{AB^{2}}{BP}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{5}}$.

Тогда

MN = BM - BN = 9 - 4 = 5 и PQ = BQ - BP = $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{5}}$ - 5 = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{5}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNO}}{S_{\Delta PQO}}}$ = k2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{MN}{PQ}}\right.$$\displaystyle {\frac{MN}{PQ}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{MN}{PQ}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{5}{\frac{11}{5}}}\right.$$\displaystyle {\frac{5}{\frac{11}{5}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{5}{\frac{11}{5}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{625}{121}}$.


Ответ

$ {\frac{625}{121}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3946

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .