Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?

   Решение

---

Трапеция ABCD и параллелограмм MBDK расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь серой части равна сумме площадей черных частей.

   Решение

---

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

   Решение

---

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

   Решение

---

В треугольнике ABC  AA₁ и BB₁ – высоты. На стороне AB выбраны точки M и K так, что  B₁K || BC  и  MA₁ || AC.  Докажите, что  ∠AA₁K = ∠BB₁M.

   Решение

---

На клетчатой бумаге отмечены 6 точек (см. рисунок). Проведите три прямые так, чтобы одновременно выполнялись три условия:

• каждая отмеченная точка лежала хотя бы на одной из этих прямых,
• на каждой прямой лежало хотя бы две отмеченные точки,
• все три проведённые прямые пересекались бы в одной точке (не обязательно отмеченной).

   Решение

---

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

   Решение

---

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x + 2y - 5 = 0 и x - 3y + 2 = 0 параллельно оси ординат.

   Решение

Тема:    [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x + 2y - 5 = 0 и x - 3y + 2 = 0 параллельно оси ординат.

Решение

Решив систему уравнений

найдём координаты точки B(x₀;y₀) пересечения данных прямых: x₀ = 1, y₀ = 1.

Поскольку искомая прямая параллельна оси ординат и проходит через точку B(x₀;y₀), её уравнение имеет вид x = x₀, т.е. x = 1.

Ответ

x = 1.

Источники и прецеденты использования