Выбрано 16 задач 
Убрать все задачи
Найти геометрическое место центров вписанных в треугольник ABC прямоугольников (одна сторона прямоугольника лежит на AB).
Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?
Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ AC² sin∠A.
{a1, a2, ..., a20} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b0, b1, b2, ...} по следующему правилу:
b0 — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b1 — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b2 — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.
Разрежем на четыре части. Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части (резать можно по сторонам и диагоналям клеток).
На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.
_
_|_|_
_|_|_|_|_
_|_|_|_|_|_|_
|_|_|_|_|_|_|_|
.....................
_ _ _ _ _ _ _ _
|_|_|_|_| ....... |_|_|_|_|
|
| Рис. 1 |
Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички, разбитый на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок).
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D
и E соответственно, причём AD/DB = BE/EC = 2 и ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Даны такие точки A, B, C и D, что отрезки AC и BD пересекаются в точке E. Отрезок AE на 1 см короче, чем отрезок AB, AE = DC, AD = BE,
∠ADC = ∠DEC. Найдите длину EC.
В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.
На протяжении некоторого года (от 1 января до 31 декабря включительно) количество вторников было равно количеству четвергов. Следует ли из этого, что и количество сред было такое же? Рассмотрите два случая:
а) в году было 365 дней,
б} в году было 366 дней.
К берегу Нила подошла компания из шести человек: три бедуина, каждый со своей женой. У берега находится лодка с вёслами, которая выдерживает только двух человек. Бедуин не может допустить, чтобы его жена находилась без него в обществе другого мужчины. Может ли вся компания переправиться на другой берег?
Известно, что х = 2а5 = 5b² > 0, числа а и b – целые. Каково наименьшее возможное значение х?
Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета.
б) Можно ли обойтись тремя цветами?
а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?
|
|
 |
Условие
а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?
Решение
а) Обозначим через аn число способов подняться на лестницу из n ступенек, соблюдая условия задачи. Очевидно, a1 = 1, a2 = 2.
Пусть Петя запрыгивает на лестницу из n > 2 ступенек. Если первый прыжок был на две ступеньки, то ему осталось
запрыгнуть на n – 2 ступеньки, и число способов закончить подъем равно an–2. Если же первый прыжок был на одну ступеньку, то число способов закончить подъем равно an–1. Значит,
an = an–1 + an–2.
Это равенство позволяет, зная a1 и a2, вычислять последовательно все an (при этом будут получаться известные числа Фибоначчи):
a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8, a6 = 13, a7 = 21, a8 = 34, a9 = 55, a10 = 89.
б) Каждую из 9 ступенек (кроме последней) Петя может либо перепрыгнуть, либо не перепрыгнуть независимо от того, на каких из верхних ступенек он останавливался. Поэтому количество способов спуститься по лестнице равно 29.
Ответ
а) 89 способов; б) 512 способов.
