В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

   Решение

Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.

   Решение

У квадратного уравнения  x² + px + q = 0  коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

   Решение

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

У квадратного уравнения  x² + px + q = 0  коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

Решение

Нетрудно проверить, что корнями уравнения  x² + 3x + 2 = 0  являются –1 и –2. После увеличения коэффициентов на единицу получится уравнение
x² + 4x + 3 = 0  с корнями –1 и –3, потом уравнение с корнями –1 и –4, затем – с корнями –1 и –5, и, наконец, уравнение с корнями –1 и –6.

Замечания

1. Ср. с задачей 105176.

2. Годится любое уравнение, у которого один корень –1, а другой – целый.

Источники и прецеденты использования