Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?
Даны различные натуральные числа a1, a2, ..., a14. На доску выписаны все 196 чисел вида ak + al, где 1 ≤ k, l ≤ 14. Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?
Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от
1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их
сумма равна 987654321.
а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары ((a, b) и (b, a) – одна и та же пара).
б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.
Дано:
Докажите, что
На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.
Числа 21989 и 51989 выписали одно за другим (в десятичной записи). Сколько всего цифр выписано?
Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a³ состоит из m цифр. Может ли m + n равняться 2001?
Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)
Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B. Окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
|
|
 |
Условие
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
Решение
При Петиных разрезаниях получаются только выпуклые многоугольники. При разрезании треугольника одна из частей тоже будет треугольником, поэтому число треугольников не уменьшается. Разрез может увеличить число сторон многоугольника только на 1, и при этом будет отрезан треугольник. Если мы увеличим число сторон 100 раз, то уже получим 100 треугольников. Иначе мы увеличили число сторон не более 99 раз, поэтому у каждого многоугольника не более 4+99=103 сторон. Значит, у нас есть не более 100 типов многоугольников. Но после того, как у нас станет 9901 часть, многоугольников какого-то типа станет по принципу Дирихле не менее 9901:100>99, то есть не менее 100.
