Условие
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.
Решение
Пусть боковые стороны трапеции – это стороны AB и CD. Обозначим через M и N вторые точки пересечения прямых AC и BD и окружностей с диаметрами AB, CD соответственно (см. рис.). Если прямая AC касается окружности с диаметром AB, то мы полагаем M = A, аналогично поступим, если прямая BD касается соответствующей окружности.
По теореме о касательной и секущей квадраты касательных, проведённых из точки K к окружностям, равны KM·KA и KN·KD. Это верно и в случаях
M = A или N = D. Значит, надо доказать, что KM·KA = KN·KD. (*)
Первый способ. Поскольку угол AMB опирается на диаметр, ∠KMB = 90°. Это верно и в случае M = A, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обозначим величину угла AKB через φ. Тогда KM = KB cos φ, KN = KC cos φ. Подставляя полученные формулы в (*), находим, что нужно доказать равенство KB·KA = KC·KD. Это известное свойство трапеции следует из подобия треугольников AKD и CKB.
Второй способ. Так как ∠BMC = 90° = ∠BNC, точки B, M, N и C лежат на окружности с диаметром BC, откуда ∠CMN = ∠CBN = ∠BDA (так как
BC || AD). Но тогда ∠AMN + ∠NDA = 180°, поэтому точки A, M, N, D лежат на одной окружности. По теореме о произведении отрезка секущей на её внешнюю часть KM·KA = KN·KD.
Замечания
1. Второй способ существенно опирается на рисунок: рассуждение не проходит, например, если хотя бы одна из точек M и N лежит на продолжении диагонали. Эти случаи нетрудно разобрать отдельно (можно также воспользоваться ориентированными углами). Сложнее разобраться со случаями M = A и N = D.
Со случаем M = A можно бороться по-разному. Можно правильно интерпретировать все утверждения в случае совпадающих точек. Например, условие "точки A, M, N и D лежат на одной окружности" нужно понимать так: прямая AK касается окружности, проходящей через точки A, N, D.
Другой способ состоит в следующем: так как M = A, прямые AC и AB перпендикулярны. Прямые AC и CD не могут быть перпендикулярны, так как тогда четырёхугольник ABCD был бы параллелограммом, а не трапецией (впрочем, для параллелограмма наше утверждение очевидно). Ясно, что прямые AB и BD также не могут быть перпендикулярны. Значит, достаточно поменять местами точки A и B и точки C и D.
2. 5 баллов.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 789 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Номер | 16 |
| Дата | 1994/1995 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
| Задача | |
| Номер | 3 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 58 |
| Год | 1995 |
| вариант | |
| Класс | 10 |
| задача | |
| Номер | 3 |
