Задача 108044

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Седракян Н.

Вершины правильного треугольника расположены на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF.
Докажите, что эти треугольник и шестиугольник имеют общий центр.

Подсказка

Продолжив стороны шестиугольника, превратите его в правильный треугольник.

Решение

Продолжив указанные стороны шестиугольника до пересечения, получим правильный треугольник QRW с тем же центром O (см. рис.). Легко видеть, что треугольники KQL, LWM и MRK равны. Теперь очевидно, что треугольник KML при повороте вокруг O на 120° переходит в себя.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4324
олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	13
Дата	1990
задача
Номер	06
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	12
Дата	1990/1991
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2