Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .
В треугольник ABC со сторонами AB = 6, BC = 5, AC = 7 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и
площадью, равной 4, прямые BC и AD касаются
окружности диаметром 2 в точках B и D
соответственно. Боковые стороны трапеции AB и
CD пересекают окружность в точках M и N
соответственно. Длина MN равна . Найдите величину
угла MBN и длину основания AD .
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если
BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE,
площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а
3AC + 2BD = 5.
В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.
|
|
 |
Условие
В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.
Решение
Пусть P, Q, R, S и T – точки касания вписанной в пятиугольник ABCDE окружности со сторонами AE, AB, BC, CD и DE соответственно. Ясно, что (см. рис.) ∠QOT = 2∠AOE = 2∠DOC = ∠ROT. Поскольку и ∠BOQ = ∠BOR, то углы между BO и OT, отсчитанные по и против часовой стрелки, равны. Следовательно, точки B, O и T лежат на одной прямой, что и требовалось.
Замечания
4 балла
