ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108129
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В неравнобедреном треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I' – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L' – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей.
Докажите, что прямые IL', I'L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.


Подсказка

Пусть F – точка пересечения прямых IL' и I'L, а G – её проекция на AB. Докажите, что точки G и H совпадают.


Решение

  Точки I и I' лежат на биссектрисе угла C. Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается прямой AC в точке K, а указанная в условии вневписанная окружность – в точке K'. Прямоугольные треугольники CKI и CK'I' подобны, поэтому  CI : CI' = IK : I'K' = IL : I'L'.
  Поскольку H, L и L' – проекции точек C, I и I' на AB, то  LH : L'H = CI : CI' = IL : I'L'.
  Пусть F – точка пересечения прямых IL' и I'L, а G – её проекция на AB. Тогда   GL : GL' = FI : FL' = FL : FI' = IL : I'L' = IK : I'K' = CI : CI' = LH : L'H.
  Значит, точки G и H совпадают, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 64
Год 2001
вариант
Класс 11
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6479

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .