|
|
 |
Условие
В неравнобедреном треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I' – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L' – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей.
Докажите, что прямые IL', I'L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.
Подсказка
Пусть F – точка пересечения прямых IL' и I'L, а G – её проекция на AB. Докажите, что точки G и H совпадают.
Решение
Точки I и I' лежат на биссектрисе угла C.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается прямой AC в точке K, а указанная в условии вневписанная окружность – в точке K'. Прямоугольные треугольники CKI и CK'I' подобны, поэтому CI : CI' = IK : I'K' = IL : I'L'.
Поскольку H, L и L' – проекции точек C, I и I' на AB, то LH : L'H = CI : CI' = IL : I'L'.
Пусть F – точка пересечения прямых IL' и I'L, а G – её проекция на AB. Тогда
GL : GL' = FI : FL' = FL : FI' = IL : I'L' = IK : I'K' = CI : CI' = LH : L'H.
Значит, точки G и H совпадают, что и требовалось.
