Вписанную окружность спроецировали на стороны треугольника. Докажите, что шесть концов проекций принадлежат одной окружности.

   Решение

От A до B  999 км. Вдоль дороги стоят километровые столбы, на которых написаны расстояния до A и до B:  , , ..., .
Сколько среди них таких, на которых имеются только две различные цифры?

   Решение

Полина решила раскрасить свой клетчатый браслет размером 10×2 (рис. слева) волшебным узором из одинаковых фигурок (рис. справа), чередуя в них два цвета. Помогите ей это сделать.

   Решение

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  AM = CN,  Q – точка пересечения отрезков AN и CM.
Докажите, что DQ – биссектриса угла D.

Подсказка

Пусть прямые AN и CD пересекаются в точке P. Докажите, что  DP : AD = PQ : AQ.

Решение

  Пусть прямые AN и CD пересекаются в точке P. Из подобия треугольников PNC и ANB следует, что  PQ : AQ = PC : AM = PC : CN.
  Из подобия треугольников PNC и PAD имеем  PC : CN = PD : AD.
  Поэтому  PD : AD = PQ : AQ,  то есть DQ – биссектриса треугольника ADP.

Источники и прецеденты использования